判断题

1. √
2. ×
3. ×
4. ×
5. ×

选择题

6. C
7. A
8. C
9. A
10. B

第 11 题

（1）均差表

（2）牛顿插值多项式

$$N_3(x) = -2 + 6x + 1.5\,x(x-1) + 1.5\,x(x-1)(x-2)$$

化简得：$$\boxed{\,N_3(x) = \dfrac{3}{2}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + 6x - 2\,}$$

第 12 题

已知矩阵分解

$$L=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\1&2&1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-1&-3\\0&0&4\end{pmatrix}$$

且 $A = LU$。解方程 $Ax=b$ 时，先解下三角方程

$$Ly = b \quad\Longrightarrow\quad y,$$

再解上三角方程

$$Ux = y \quad\Longrightarrow\quad x.$$

第 13 题

将 $f(x)=1,\;x,\;x^2$ 依次代入求积公式，解得

$$\boxed{\,a=\dfrac{1}{12}\,}$$

再验证：当 $f(x)=x^3$ 时等式成立，当 $f(x)=x^4$ 时等式不成立。 故该求积公式的代数精度为 $3$。

第 14 题

预估（改进欧拉法）：

$$\bar y_1 = y_0 + h f(x_0, y_0) = 1 + 1\times(0-1) = 0$$

校正：

$$y_1 = y_0 + \frac{h}{2}\bigl[f(x_0, y_0) + f(x_1, \bar y_1)\bigr] = 1 + \frac{1}{2}\,(-1 + 2) = \boxed{\,1.5\,}$$

第 15 题

（1）复合梯形公式：

$$ \begin{aligned} T_T &= \frac{10}{2}(0+2) + \frac{10}{2}(2+25) + \frac{20}{2}(25+45) + \frac{10}{2}(45+50) + \frac{30}{2}(50+40) \\ &= \boxed{\,2670\,} \end{aligned} $$

（2）各节点间距不相等，因此不能直接使用复合辛普森公式。

第 16 题

证明：设

$$\varphi(x)=\dfrac{x(x^2+6)}{3x^2+2},\qquad \alpha=\sqrt{2},\qquad \alpha^2=2.$$

因为

$$\varphi(\sqrt{2})=\dfrac{\sqrt{2}\,(2+6)}{6+2}=\sqrt{2}=\alpha,$$

所以 $\alpha$ 是 $\varphi$ 的不动点。

对 $\varphi(x)$ 求导并在 $x=\sqrt{2}$ 处取值：

$$\varphi'(\sqrt{2})=0,\qquad \varphi''(\sqrt{2})=0,\qquad \varphi'''(\sqrt{2})\neq 0.$$

由收敛阶定理，迭代格式 $x_{k+1}=\varphi(x_k)$ 在不动点 $\alpha=\sqrt{2}$ 附近三阶收敛。证毕。