一、判断题
1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√
二、选择题
6.B 7.C 8.C 9.A
三、计算题
11
已知x=0,1,2,3；y=1,3,2,4
(1)拉格朗日插值基函数
l₀(x)= -1/6 (x-1)(x-2)(x-3)
l₁(x)= 1/2 x(x-2)(x-3)
l₂(x)= -1/2 x(x-1)(x-3)
l₃(x)= 1/6 x(x-1)(x-2)
(2)插值多项式
L₃(x)=1·l₀(x)+3·l₁(x)+2·l₂(x)+4·l₃(x)
= -1/6(x-1)(x-2)(x-3)+3/2 x(x-2)(x-3)-x(x-1)(x-3)+2/3 x(x-1)(x-2)
= 2/3 x³ - 7/2 x² + 17/6 x + 1
12
A=
[1 1 -1
2 3 0
-1 2 8]
L=
[1 0 0
2 1 0
-1 3 1]
U=
[1 1 -1
0 1 2
0 0 3]
A=LU
解Ly=b，得y=(4,-4,16)ᵀ
解Ux=y，x=(8, -12, 16/3)ᵀ
13
求积公式：
∫₀^h f(x)dx = h[a₀f(0)+a₁f(h)] + h²[b₀f'(0)+b₁f'(h)]
解得：a₀=1/2，a₁=1/2，b₀=1/12，b₁=-1/12
代入f(x)=x⁴等式不成立，代数精度=3
14
改进欧拉法，{y'=x−y，y(0)=1，h=1}
x₀=0,y₀=1
预估 ȳ₁=y₀+hf(x₀,y₀)=1+1×(0−1)=0
校正 y₁=y₀+h/2 [f(x₀,y₀)+f(x₁,ȳ₁)] =1+1/2(-1+1)=1
x₁=1,y₁=1
预估 ȳ₂=y₁+hf(x₁,y₁)=1+1×(1−1)=1
校正 y₂=y₁+h/2 [f(x₁,y₁)+f(x₂,ȳ₂)] =1+1/2(0+1)=1.5
y₁=1，y₂=1.5
四、应用题15
xᵢ：0,2,4,6,8,10,12,14,16
yᵢ：0,10,25,45,50,40,25,15,0
(1)复合梯形
I_T = 2/2 [y₀+2(y₁+y₂+y₃+y₄+y₅+y₆+y₇)+y₈]
= 0+2(10+25+45+50+40+25+15)+0 = 420
(2)复合辛普森
I_S = 2/3 [y₀+4(y₁+y₃+y₅+y₇)+2(y₂+y₄+y₆)+y₈]
= 2/3 [0+4(10+45+40+15)+2(25+50+25)+0] = 1240/3 ≈413.33
五、证明题16
证明：
迭代函数 φ(x)=x(3−3ax+a²x²)/3，α=1/a，a>0
φ(1/a)= (1/a)(3−3a·1/a+a²·1/a²)/3 =1/a =α，α是不动点。
求导代入x=1/a，φ'(α)=0，φ''(α)=0，φ'''(α)≠0。
根据不动点迭代收敛阶判定定理，该迭代在α=1/a附近三阶收敛。证毕。